Description
La distance d'une fonction booléenne f de m variables au code de Reed-Muller est une mesure la non-linearité de f. Il s'agit d'une notion importante en cryptographie. L'analyse de Fourier est une méthode d'approche normale de cette question. En particulier, la non-linéarité de f est égale à [ 2^m - R(f) ] /2, où R(f) est l'amplitude spectrale de f i.e. le module maximal de ses coefficients de Fourier.<br/> Un des problèmes majeurs consiste à déterminer la valeur minimale (rayon spectral) de R(f) lorsque f décrit l'ensemble de toutes les fonctions booléennes, équivalent à déterminer le rayon de recouvrement du code de Reed-Muller du premier ordre.<br/> Le rayon spectral est facile à calculer lorsque m est pair, il est réalisé par les fonctions quadratiques non-dégénérée. Le cas impair est encore ouvert, sauf pour les petites valeurs de m : 3, 5 et 7. Dans les années 80, Paterson-Wiedemann ont découvert une fonction booléenne de 15 variables moins linéaire que les fonctions quadratiques : contre-exemple à une conjecture formulée dans les années 70 par Mykkelveit.<br/> Au cours de mon exposé, je montrerai d'autres contre-exemples plus linéaire mais mieux structurés construits à partir des sommes de Gauss. Enfin, je discuterai de la conjecture de Patterson et Wiedemann qui affirme l'équivalence asympototique entre le rayon spectral R(m) et 2^{m/2}.<br/> Philippe Langevin, janvier 2003.
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The Fiat-Shamir with Aborts paradigm (FSwA) uses rejection sampling to remove a secret’s dependency on a given source distribution. Recent results revealed that unlike the uniform distribution in the hypercube, both the continuous Gaussian and the uniform distribution within the hypersphere minimise the rejection rate and the size of the proof of knowledge. However, in practice both these[…]-
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