Description
Le but de cet exposé est de présenter de nouveaux résultats sur les minima et spectres euclidiens des corps de nombres, et ceci d'un point de vue à la fois algorithmique et théorique. Un problème très ancien en théorie des nombres consiste à savoir si un corps de nombres est euclidien, en particulier pour la norme. Lorsqu'on cherche à préciser les choses, on est amené naturellement à définir les concepts respectivement arithmétique et géométrique de minimum euclidien et de minimum inhomogène, ainsi que les concepts de spectre euclidien et de spectre inhomogène. Je présenterai une méthode générale permettant de calculer le minimum euclidien (et inhomogène) d'un corps de nombres, voire la partie supérieure de son spectre euclidien. L'algorithme, implanté pour le moment uniquement dans le cas des corps de nombres totalement réels, a permis d'enrichir de façon décisive les tables existantes du degré 2 au degré 8, et a permis de découvrir de nombreux nouveaux corps de nombres euclidiens, ainsi que de nombreux corps de nombres principaux non euclidiens pour la norme mais euclidiens en deux étapes.<br/> J'aborderai également des questions plus théoriques. Je suis en effet parvenu, à l'aide d'arguments de dynamique topologique, à établir la preuve d'anciennes conjectures essentiellement énoncées par Barnes et Swinnerton-Dyer et concernant le lien entre le spectre euclidien et le spectre inhomogène, sous la seule condition que le groupe des unités du corps considéré soit de rang strictement supérieur à 1. Une conséquence particulière des résultats obtenus est que, sous cette dernière hypothèse, l'euclidianité est décidable et que l'algorithme proposé termine. Une partie des résultats exposés a déjà été publiée au Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, le reste le sera très prochainement dans Mathematics of Computation.
Prochains exposés
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Attacking the Supersingular Isogeny Problem: From the Delfs–Galbraith algorithm to oriented graphs
Orateur : Arthur Herlédan Le Merdy - COSIC, KU Leuven
The threat of quantum computers motivates the introduction of new hard problems for cryptography.One promising candidate is the Isogeny problem: given two elliptic curves, compute a “nice’’ map between them, called an isogeny.In this talk, we study classical attacks on this problem, specialised to supersingular elliptic curves, on which the security of current isogeny-based cryptography relies. In[…]-
Cryptography
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Verification of Rust Cryptographic Implementations with Aeneas
Orateur : Aymeric Fromherz - Inria
From secure communications to online banking, cryptography is the cornerstone of most modern secure applications. Unfortunately, cryptographic design and implementation is notoriously error-prone, with a long history of design flaws, implementation bugs, and high-profile attacks. To address this issue, several projects proposed the use of formal verification techniques to statically ensure the[…] -
Endomorphisms via Splittings
Orateur : Min-Yi Shen - No Affiliation
One of the fundamental hardness assumptions underlying isogeny-based cryptography is the problem of finding a non-trivial endomorphism of a given supersingular elliptic curve. In this talk, we show that the problem is related to the problem of finding a splitting of a principally polarised superspecial abelian surface. In particular, we provide formal security reductions and a proof-of-concept[…]-
Cryptography
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