Description
La théorie des nombres rend nécessaire le calcul de certaines intégrales à des précisions permettant un travail arithmétique. On présentera une méthode à la fois simple, rapide et prouvée pour y parvenir. Il existe depuis une vingtaine d'années un paradigme d'intégration numérique, dit des fonctions doublement exponentielles, qui dans la pratique converge très rapidement pour des fonctions régulières. La fonction intnum sous PARI/gp implante ces idées. On donnera une interprétation de ce paradigme, et une démonstration rigoureuse, avec un terme d'erreur explicite, d'une couvergence quasi-linéaire sous des hypothèses raisonnables. On discutera l'optimalité de la méthode et l'extension de son champ d'application. Deux applications seront décrites : le calcul de périodes de variétés hyperelliptiques et celui de valeurs de fonctions L, à précision garantie arbitraire.