Description
Récemment Diem et Gaudry ont introduit indépendemment une méthode de résolution du DLP sur les courbes elliptiques définies sur un corps fini non premier K, de degré d'extension n > 1 sur le corps de base k. Cet algorithme repose sur le principe général du calcul d'indice. Une étape cruciale de cet algorithme nécessite de décomposer des points de la courbe E(K) selon une base de facteurs. C'est à dire, étant donné un point fixé R de E(K) trouver n points Pi, 0 < i < n+1, de la base de facteurs F (sous ensemble fixé de E(K)) tels que R = P1 + ... + Pn. Une méthode de résolution algébrique de ce problème consiste à modéliser cette somme sous forme d'un système polynomial et de le résoudre. À cette fin, Semaev introduit les polynômes de sommation qui projettent le problème de décomposition de points sur l'axe des abscisses. L'application d'une restriction de Weil de K à k sur un tel polynôme de sommation engendre un système à coefficients dans k à n équations et n inconnues, dont la résolution est équivalente à celle du problème de décomposition de point. Le coût de la résolution de ces systèmes est exponentiel en n et elle devient rapidement impossible. Il est donc nécessaire d'optimiser la résolution de ces systèmes. Un moyen est d'utiliser les symétries du problème de décomposition de points. Une symétrie naturelle de ce problème, lié à la commutativité de la loi de groupe sur les points de la courbe, est l'action du groupe symétrique Sn. Dans cet exposé, nous mettrons en évidence des symétries supplémentaires. Nous étudierons en particulier deux représentations de courbes -- les courbes d'Edwards et les intersections de Jacobi -- pour lesquelles ces nouvelles symétries se propagent sur les polynômes de sommation. Pour ces représentations, nous verrons également comment elles permettent de simplifier les systèmes polynomiaux à résoudre. Finalement nous présenterons quelques résultats pratiques montrant le gain apporté par l'utilisation des symétries.
Prochains exposés
-
Efficient zero-knowledge proofs and arguments in the CL framework
Orateur : Agathe Beaugrand - Institut de Mathématiques de Bordeaux
The CL encryption scheme, proposed in 2015 by Castagnos and Laguillaumie, is a linearly homomorphic encryption scheme, based on class groups of imaginary quadratic fields. The specificity of these groups is that their order is hard to compute, which means it can be considered unknown. This particularity, while being key in the security of the scheme, brings technical challenges in working with CL,[…] -
Constant-time lattice reduction for SQIsign
Orateur : Sina Schaeffler - IBM Research
SQIsign is an isogeny-based signature scheme which has recently advanced to round 2 of NIST's call for additional post-quantum signatures. A central operation in SQIsign is lattice reduction of special full-rank lattices in dimension 4. As these input lattices are secret, this computation must be protected against side-channel attacks. However, known lattice reduction algorithms like the famous[…] -
Circuit optimisation problems in the context of homomorphic encryption
Orateur : Sergiu Carpov - Arcium
Fully homomorphic encryption (FHE) is an encryption scheme that enables the direct execution of arbitrary computations on encrypted data. The first generation of FHE schemes began with Gentry's groundbreaking work in 2019. It relies on a technique called bootstrapping, which reduces noise in FHE ciphertexts. This construction theoretically enables the execution of any arithmetic circuit, but[…] -
TBD
Orateur : Maria Corte-Real Santos - ENS Lyon
TBD-
Cryptography
-