Description
Dans ce travail, nous nous intéressons aux permutations complètes, c’est-à-dire aux fonctions bijectives $x\mapsto f(x)$ telles que $x\mapsto f(x)+x$ soient aussi bijectives. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux permutations complètes sur les corps finis $\mathbb{F}_{2^n}$. En caractéristique 2, la définition des permutations complètes coincide avec celle des orthomorphismes. Nous pouvons donc utiliser cette correspondance pour mettre à jour plus de propriétés et de résultats de ces objets combinatoires. En effet, malgré la multitude de travaux se concentrant sur les permutations complètes (et orthomorphismes) apparus depuis l’introduction du concept par Mann dans les années 40, il semble que peu de propriétés générales ou de classes de telles fonctions soient connues. Parmi ces classes de fonctions, la plupart sont monômiales, binômiales voire trinômiales et/ou affines. Dans cet exposé, nous commencerons par introduire la notion de permutations complètes ainsi que les propriétés de bases, et montrerons quelques unes des applications les plus courantes. Nous verrons donc les problèmes héritée s de ces applications. Dans un second temps, nous démontrerons quelques nouvelles propriétés des permutations complètes. Nous ré-explorons aussi le lien entre polynômes de permutations cyclotomiques et permutations complètes et caractérisons complètement les ‘permutations complètes cyclotomiques’ dans le cas des corps finis en caractéristique 2. Nous conclurons en proposant, par le biais d’un certains nombre de conjectures et d’observations sur ces nouvelles classes, une extension ‘géométrique’ des permutations complètes aux partitions régulières sur les corps finis.
Prochains exposés
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Verification of Rust Cryptographic Implementations with Aeneas
Orateur : Aymeric Fromherz - Inria
From secure communications to online banking, cryptography is the cornerstone of most modern secure applications. Unfortunately, cryptographic design and implementation is notoriously error-prone, with a long history of design flaws, implementation bugs, and high-profile attacks. To address this issue, several projects proposed the use of formal verification techniques to statically ensure the[…] -
On the average hardness of SIVP for module lattices of fixed rank
Orateur : Radu Toma - Sorbonne Université
In joint work with Koen de Boer, Aurel Page, and Benjamin Wesolowski, we study the hardness of the approximate Shortest Independent Vectors Problem (SIVP) for random module lattices. We use here a natural notion of randomness as defined originally by Siegel through Haar measures. By proving a reduction, we show it is essentially as hard as the problem for arbitrary instances. While this was[…] -
Endomorphisms via Splittings
Orateur : Min-Yi Shen - No Affiliation
One of the fundamental hardness assumptions underlying isogeny-based cryptography is the problem of finding a non-trivial endomorphism of a given supersingular elliptic curve. In this talk, we show that the problem is related to the problem of finding a splitting of a principally polarised superspecial abelian surface. In particular, we provide formal security reductions and a proof-of-concept[…]-
Cryptography
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